动态光散射检测的互信息函数分析方法

王沙，杨志安，任中京

(济南大学理学院，山东济南250022)

摘要：互信息函数反映的是系统中的非线性关联，是将线性的关联函数对非线性系统的一种推广，动态光散射领域目前未见到用计算互信息函数进行分析的报道。本文中通过计算互信息函数，对动态光散射检测电机转速的时间序列进行分析，研究表明，互信息函数法能准确地测出电机转速。同时，由于互信息函数自身的优点——能实际地反映出数据之间的相互关联，因此，与自相关函数法比较，互信息函数法反映出了更多的动力学信息。目前正在把互信息函数分析法用于检测颗粒粒径的实验当中。希望利用互信息函数分析的方法，在动态光散射检测顆粒粒径的实验当中得到更多的动力学信息。并进一步应用于纳米顆粒粒径的动态光散射检测中。

关键词：互信息函数；动态光散射；自相关函数。

本文利用互信息函数对动态光散射法测电机转速的实验进行了研究，准确测出了电机的转速。文中比较了互信息函数法与自相关函数法^[2]两种方法的优劣。

1. 原理

按Shannon的信息理论，设S表示一组讯号为s₁，s₂，…，s_n的系统，出现s₁的概率P_s(s _?)，i = 1，2，…，n。对另一组讯号为q₁，q₂，…，q_n的系统Q，出现q_j的概率是P _q (q_j),j= 1，2，…，n。s _?和q_jq同时出现的概率P_sq(s _?, q_j)。互信息的定义为^[3]

I(S, Q) 度量的是变量S与Q之间的一般性关联程度，或比值P_sq(s _?, q_j)/ P_s(s _?j) P_q(q_j) 的整体不平整程度。互信息越大，变童S与Q之间的关联程度越强，系统的不平整程度越高，系统越不均匀；互信息越小，S与Q之间的关联程度越弱，系统的不平整程度越低，系统越均匀。

在光子互信息法检测电机转速的实验研究中，主要关心的是测量数据随延迟时间T的周期性，从而得出电机的转速。在计算中，对某给定的延迟时间T，令[s,q]=[x(t),x(t+T)]，这时互信息I是延迟时间T的函数I (T)。

因为电机转动是周期性的动力系统，其状态随时间的演化可表示成s = x(T)= Sint，则延迟坐标可表示成q = x(t+T)= sin(t+T)，其中T是延迟时间。当延迟T₁=0 时，q = x(t+T)= sin(t+0)=sin t，这时s与q是同一变量与，s与q间的关联zui强，这时I (T₁)取极大值。设系统周期是τ，当

T₂=τ时，q = x(t+τ)= sin(t+τ)=sint，使互信息I (T₂)又取极大值，则两个极大点之差T₂ - T₁= τ即为系统的周期。所以只要找出互信息I的两个相邻极大值所对应的极大点T₁和T₂，其差值τ= T₂ - T₁就是系统的周期。当周期τ确定后，就可求出转速。另外利用由互信息I (T)的极大值来确定周期，易于辨别和计算。

在测电机转速的实验中，由于电机所带动的转动圆盘是不*均匀的，在转动的过程中，从其上面散射的光就会呈现周期性。我们首先用探测器来接收这些散射光，得到散射光的时间序列；其次编制出计算互信息的程序，计算出给定延迟时间T值下的互信息值I (T)，得出互信息函数曲线；zui后利用互信息函数曲线，求出转动的周期性，从而求出转速。

2. 实验装置

实验系统如图1所示。

1.永磁直流电动机；2.圆盘；3.5.光阑图；4.透镜；6.计数器图

图1实验系统结构示意图

图2取样点处光子数随时间的变化

用直流电动机带动圆盘转动，电机转速可调。在一定的测量时间内，采集的光子数随时间变化的曲线如图2所示。从图3可以看出互信息处理周期变化的信号显现出来。

3．由实验数据计算电机转速

对电机采集某一转速下随时间变化的光子数，用自编软件对采集到的数据计算互信息函数，可得到互信息的函数曲线I (T)。分析互信息函数曲线的周期特性，可计算出相应的转速。

图3对实验数据的互信息处理

图4同一组实验数据的自相关函数图

对一组数据的互信息曲线（如图3）进行相应转速计算：由互信息极大点可知圆盘转动周期为25 x 2 ms，转速n = 60/25×2×10^-3 = 1200 r/min。所得结果与文^[2]所用的自相关函数法（图4）所计算出的电机转速相同。这说明把互信息函数法应用于动态光散射测电机转速的实验中是可行的。

4．讨论

本文将互信息函数应用于动态光散射检测电机转速的研究，准确得测出电机转速，这一结果与自相关函数法的结果一致。并且互信息函数法是真正意义上的相互关联，可得到更多系统的动力学信息，这些信息常常被淹没于噪声中。

目前正在把互信息函数分析法用于检测颗粒粒径的实验当中。希望利用互信息函数分析的方法，在动态光散射检测颗粒粒径的实验当中，得到更多的动力学信息。并进一步应用于纳米颗粒粒径的动态光散射检测中。

参考文献：

[1]     徐秉铮. 信号分析与相关技术[M]. 北京: 科学出版社, 1981.

[2]     窦彦玲, 等. 光子相关法检测电机转速的实验研究[J]. 济南大学学报, 2003, 17(11).

[3]     概率论[M]. 北京: 人民教育出版社, 1979.

[4]     杨志安, 等. 用等间距格子法计算互信息函数确定延迟时间[J]. 计算物理, 1995, 12(4): 443.

Analysis On the Mutual Information Function

for Testing Dynamic Light Scattering Method

WANG Sha. YANG Zhi-an, REN Zhong-jing

(Science School, Jinan University, Jinan 250022, China)

Abstract: The mutual information function is adapted to develop the experiment of testing the rotational speed of the electrical machinery by the Photon Correlation Technique and picked up the rotational speed's information of the electrical machinery. It indicated that the mutual information function could be applicable to the experiment of testing the electrical machinery by the photon correlation technique as same as the autocorrelation function. At the same time, because of the advantage of the mutual information function, it could actually reflect the mutual correlation of the data and paid more attention to the details. So it could reflect a lot of dynamics’ subtle information.

Key words: mutual information function；dynamic light scattering；autocorrelation function